第四章 NumPy

本章定位：NumPy 是 Python 科学计算的核心基础库，提供了高效的多维数组对象 ndarray 与丰富的数学运算函数，是数据分析、机器学习、信号处理等领域的工具基础。相比 Python 原生列表，NumPy 数组支持向量化运算，运算速度快、内存占用低，是数据方向 Python 学习的必备内容。
前置准备：使用前需安装 NumPy 库：pip install numpy 行业惯例导入方式：import numpy as np
学习目标：掌握 ndarray 数组的创建、索引、变形与运算，能使用 NumPy 完成基础的数值计算、统计分析与矩阵运算。

1 数组的创建与操作（ndarray）

NumPy 的核心是 ndarray（N-dimensional array）多维数组对象，所有数值运算都围绕数组展开。

1.1 创建数组

1.1.1 从序列创建数组

使用 np.array() 可以将 Python 原生的列表、元组等序列转换为 NumPy 数组，自动推断元素数据类型。

python

import numpy as np

# 从列表创建一维数组
arr1 = np.array([1, 2, 3, 4, 5])
print(arr1)
# 输出: [1 2 3 4 5]

# 从嵌套列表创建二维数组
arr2 = np.array([[1, 2, 3], [4, 5, 6]])
print(arr2)
# 输出:
# [[1 2 3]
#  [4 5 6]]

# 指定数据类型创建
arr3 = np.array([1, 2, 3], dtype=np.float32)
print(arr3.dtype)  # float32

提示

np.array() 会自动统一数组内元素的数据类型；若同时存在整数和浮点数，会自动向上转换为浮点型。

1.1.2 快速创建特殊数组

函数	功能	示例
`np.arange(start, end, step)`	生成连续整数序列数组，左闭右开	`np.arange(0, 10, 2)` → `[0 2 4 6 8]`
`np.linspace(start, end, num)`	生成指定个数的均匀间隔数组	`np.linspace(0, 10, 5)` → `[ 0. 2.5 5. 7.5 10. ]`
`np.zeros(shape)`	生成指定形状的全零数组	`np.zeros((2, 3))` → 2行3列全0矩阵
`np.ones(shape)`	生成指定形状的全一数组	`np.ones((3, 2))` → 3行2列全1矩阵
`np.eye(n)`	生成 n 阶单位矩阵	`np.eye(3)` → 3阶单位矩阵

1.2 数组元素索引与访问

1.2.1 一维数组索引

一维数组的索引、切片规则与 Python 列表高度兼容，同时支持整数数组索引（花式索引），可一次性选取多个位置的元素。

python

arr = np.array([10, 20, 30, 40, 50])

# 基础索引
print(arr[0])   # 10
print(arr[-1])  # 50

# 切片
print(arr[1:4])  # [20 30 40]

# 整数数组索引（花式索引）
index = [0, 2, 4]
print(arr[index])  # [10 30 50]

1.2.2 二维数组索引

二维数组索引格式：arr[行索引, 列索引]，行与列均支持切片、整数数组索引，全选对应维度用冒号 : 表示。

python

arr = np.array([[1, 2, 3],
                [4, 5, 6],
                [7, 8, 9]])

# 获取单个元素：第0行第1列
print(arr[0, 1])  # 2

# 切片：获取所有行，第1列
print(arr[:, 1])  # [2 5 8]

# 切片：获取第1-2行，第0-1列
print(arr[1:3, 0:2])
# [[4 5]
#  [7 8]]

# 布尔索引：筛选大于5的元素
print(arr[arr > 5])  # [6 7 8 9]

1.2.3 笛卡尔积索引 `np.ix_()`

np.ix_() 可以实现多维度索引的笛卡尔积组合，一次性获取多个交叉位置的元素。

python

arr = np.array([[1, 2, 3, 4],
                [5, 6, 7, 8],
                [9, 10, 11, 12]])

# 获取 (0,1)、(0,3)、(-1,1)、(-1,3) 四个位置的元素
print(arr[np.ix_([0, -1], [1, 3])])
# [[ 2  4]
#  [10 12]]

1.3 数组核心属性

属性	说明	示例结果
`ndim`	数组的维度数（轴数）	二维数组 → `2`
`shape`	数组的形状，格式为 `(行数, 列数)`	2行3列 → `(2, 3)`
`dtype`	数组元素的数据类型	整数数组 → `int64`
`size`	数组元素总个数	2行3列 → `6`

python

arr = np.array([[1, 2, 3], [4, 5, 6]])
print(arr.ndim)    # 2
print(arr.shape)   # (2, 3)
print(arr.dtype)   # int64
print(arr.size)    # 6

1.4 数组形状处理

1.4.1 reshape：重塑形状（返回副本）

reshape() 可以改变数组的形状，返回新数组副本，不修改原数组。参数 -1 表示自动计算该维度的大小。

python

arr = np.arange(6)  # [0 1 2 3 4 5]

# 重塑为 2行3列
arr2 = arr.reshape(2, 3)
print(arr2)
# [[0 1 2]
#  [3 4 5]]

# -1 自动计算维度
arr3 = arr.reshape(3, -1)
print(arr3.shape)  # (3, 2)

1.4.2 resize：重塑形状（修改原数组）

resize() 功能与 reshape 类似，但直接修改原数组本身（视图），无返回值。

python

arr = np.arange(6)
arr.resize(2, 3)
print(arr)
# [[0 1 2]
#  [3 4 5]]

1.4.3 ravel：多维展平为一维（返回视图）

ravel() 将多维数组展平为一维数组，返回原数组的视图，修改新数组会影响原数组。默认按行（C顺序）展平，order='F' 按列展平。

python

arr = np.array([[1, 2], [3, 4]])
print(arr.ravel())  # [1 2 3 4]

# 按列展平
print(arr.ravel(order='F'))  # [1 3 2 4]

1.4.4 flatten：多维展平为一维（返回副本）

flatten() 功能与 ravel 一致，但返回原数组的副本，修改新数组不会影响原数组。

python

arr = np.array([[1, 2], [3, 4]])
arr_flat = arr.flatten()
arr_flat[0] = 100
print(arr)  # 原数组不变
# [[1 2]
#  [3 4]]

补充：数组转置

二维数组可直接通过 .T 属性获取转置数组：

python

arr = np.array([[1, 2, 3], [4, 5, 6]])
print(arr.T)
# [[1 4]
#  [2 5]
#  [3 6]]

1.5 数组的堆叠与拼接

将多个数组合并为一个数组，分为纵向堆叠和横向堆叠两种方向。

函数	作用	规则
`np.row_stack()` / `np.vstack()`	纵向（垂直方向）堆叠	所有数组的列数必须相同
`np.column_stack()` / `np.hstack()`	横向（水平方向）拼接	所有数组的行数必须相同
`np.concatenate(arr_list, axis=0)`	按指定轴拼接	`axis=0`纵向，`axis=1`横向

python

arr1 = np.array([[1, 2], [3, 4]])
arr2 = np.array([[5, 6], [7, 8]])

# 纵向堆叠
print(np.vstack([arr1, arr2]))
# [[1 2]
#  [3 4]
#  [5 6]
#  [7 8]]

# 横向拼接
print(np.hstack([arr1, arr2]))
# [[1 2 5 6]
#  [3 4 7 8]]

# 通用拼接函数，axis=1 横向
print(np.concatenate([arr1, arr2], axis=1))

2 数组的基本运算

NumPy 数组支持向量化运算，无需循环即可对所有元素批量执行运算，代码简洁且效率远高于原生列表循环。

2.1 算术运算

支持 + - * / % // ** 等运算符，逐元素对应运算。

python

arr1 = np.array([1, 2, 3])
arr2 = np.array([4, 5, 6])

print(arr1 + arr2)  # [5 7 9]
print(arr1 * 2)     # [2 4 6]  标量广播
print(arr1 ** 2)    # [1 4 9]

广播机制

当运算双方形状不同时，NumPy 会自动触发广播机制，将维度少的数组自动扩展匹配维度。例如标量与数组运算、一维数组与二维数组运算，只要维度兼容即可自动广播。

2.2 比较运算

支持 > >= < <= == != 比较运算符，返回相同形状的布尔数组。

python

arr = np.array([1, 3, 5, 7, 9])

# 比较运算，返回布尔数组
print(arr > 5)  # [False False False  True  True]

# 布尔索引：筛选满足条件的元素
print(arr[arr > 5])  # [7 9]

3 常用数学与统计函数

NumPy 提供了丰富的统计函数，支持按指定轴（axis）计算。

axis 参数说明：
axis=0：按**垂直方向（列方向）**计算，跨行运算
axis=1：按**水平方向（行方向）**计算，跨列运算
不指定 axis 时，对整个数组所有元素计算

函数	功能
`np.sum(arr, axis=None)`	求和
`np.mean(arr, axis=None)`	求算术平均值
`np.std(arr, axis=None)`	求标准差
`np.var(arr, axis=None)`	求方差
`np.min(arr, axis=None)`	求最小值
`np.max(arr, axis=None)`	求最大值
`np.argmin(arr, axis=None)`	求最小值的索引
`np.argmax(arr, axis=None)`	求最大值的索引

python

arr = np.array([[1, 2, 3],
                [4, 5, 6]])

# 整个数组求和
print(np.sum(arr))  # 21

# 按列求和（axis=0）
print(np.sum(arr, axis=0))  # [5 7 9]

# 按行求均值（axis=1）
print(np.mean(arr, axis=1))  # [2. 5.]

4 线性代数基础运算

NumPy 提供了基础的线性代数运算能力，满足基础矩阵计算需求。

4.1 特殊矩阵

函数	功能
`np.zeros((m,n))`	m行n列全零矩阵
`np.ones((m,n))`	m行n列全一矩阵
`np.eye(n)`	n阶单位矩阵（对角线为1，其余为0）
`np.diag(列表)`	根据列表生成对角矩阵；传入二维数组则提取对角线元素

python

# 3阶单位矩阵
print(np.eye(3))
# [[1. 0. 0.]
#  [0. 1. 0.]
#  [0. 0. 1.]]

# 提取矩阵对角线
arr = np.array([[1,2],[3,4]])
print(np.diag(arr))  # [1 4]

4.2 矩阵运算

函数/运算符	功能	注意事项
`np.dot(arr1, arr2)` / `arr1 @ arr2`	矩阵点积/乘法	第一个数组的列数 = 第二个数组的行数
`np.linalg.eig(arr)`	计算矩阵的特征值与特征向量	返回(特征值数组, 特征向量数组)
`np.linalg.solve(A, b)`	求解多元线性方程组 Ax = b	A为系数矩阵，b为常数项向量

python

# 矩阵乘法
A = np.array([[1, 2], [3, 4]])
B = np.array([[5, 6], [7, 8]])
print(np.dot(A, B))
# [[19 22]
#  [43 50]]

5 伪随机数生成

numpy.random 子模块提供了丰富的伪随机数生成功能，支持多种分布的随机数生成。

5.1 常用随机函数

函数	功能	示例
`np.random.rand(shape)`	生成[0, 1)均匀分布随机浮点数	`np.random.rand(2,3)` → 2行3列随机数
`np.random.randint(low, high, size)`	生成[low, high)随机整数	`np.random.randint(0, 10, size=5)` → 5个0-9随机整数
`np.random.randn(shape)`	生成标准正态分布随机数（均值0，方差1）	`np.random.randn(10)` → 10个标准正态分布数
`np.random.normal(loc, scale, size)`	生成指定均值、标准差的正态分布	`np.random.normal(100, 10, size=100)`

5.2 随机种子

使用 np.random.seed(种子值) 可以固定随机数生成器的状态，保证每次运行生成的随机数一致，便于结果复现与调试。

python

np.random.seed(42)
print(np.random.randint(0, 10, 5))
# 固定种子后，每次运行结果都为 [6 3 7 4 6]

本章练习

基础题

创建一个 3 行 4 列的全零数组，将第 1 行第 2 列元素修改为 10，输出数组与它的 shape、dtype、size。
使用 np.arange 生成 0~20 的整数数组，重塑为 4 行 5 列，计算所有元素的和、均值、标准差。
创建两个 2 行 3 列的随机整数数组（0~10），分别进行纵向堆叠与横向拼接，输出结果。
生成 100 个均值为 80、标准差为 10 的正态分布随机数，计算其中大于 90 的元素个数。

进阶题

创建一个 5×5 的随机整数矩阵（10~99），提取它的主对角线元素，计算对角线元素的和。
求解二元一次方程组：$\begin{cases}2x + y = 7 \ x - 3y = -2 \end{cases}$，使用 np.linalg.solve 实现。
生成 1000 个 0~100 的随机整数，统计每个数字出现的次数。

本章常见易错点

索引越界：数组索引从 0 开始，最大索引为 长度-1，超出范围会触发 IndexError。
形状不匹配：数组运算、堆叠时，对应维度长度不匹配会触发报错，堆叠前需确认维度。
reshape 与 resize 混淆：reshape 返回副本不修改原数组，resize 直接修改原数组，注意区分使用场景。
视图与副本混淆：ravel 返回视图，修改会影响原数组；flatten 返回副本，互不影响，避免误用导致数据意外修改。
axis 参数搞反：axis=0 是按列（纵向）计算，axis=1 是按行（横向）计算，注意不要混淆方向。

第四章 NumPy ​

1 数组的创建与操作（ndarray） ​

1.1 创建数组 ​

1.1.1 从序列创建数组 ​

1.1.2 快速创建特殊数组 ​

1.2 数组元素索引与访问 ​

1.2.1 一维数组索引 ​

1.2.2 二维数组索引 ​

1.2.3 笛卡尔积索引 np.ix_() ​

1.3 数组核心属性 ​

1.4 数组形状处理 ​

1.4.1 reshape：重塑形状（返回副本） ​

1.4.2 resize：重塑形状（修改原数组） ​

1.4.3 ravel：多维展平为一维（返回视图） ​

1.4.4 flatten：多维展平为一维（返回副本） ​

1.5 数组的堆叠与拼接 ​

2 数组的基本运算 ​

2.1 算术运算 ​

2.2 比较运算 ​

3 常用数学与统计函数 ​

4 线性代数基础运算 ​

4.1 特殊矩阵 ​

4.2 矩阵运算 ​

5 伪随机数生成 ​

5.1 常用随机函数 ​

5.2 随机种子 ​

本章练习 ​

基础题 ​

进阶题 ​

本章常见易错点 ​

第四章 NumPy

1 数组的创建与操作（ndarray）

1.1 创建数组

1.1.1 从序列创建数组

1.1.2 快速创建特殊数组

1.2 数组元素索引与访问

1.2.1 一维数组索引

1.2.2 二维数组索引

1.2.3 笛卡尔积索引 `np.ix_()`

1.3 数组核心属性

1.4 数组形状处理

1.4.1 reshape：重塑形状（返回副本）

1.4.2 resize：重塑形状（修改原数组）

1.4.3 ravel：多维展平为一维（返回视图）

1.4.4 flatten：多维展平为一维（返回副本）

1.5 数组的堆叠与拼接

2 数组的基本运算

2.1 算术运算

2.2 比较运算

3 常用数学与统计函数

4 线性代数基础运算

4.1 特殊矩阵

4.2 矩阵运算

5 伪随机数生成

5.1 常用随机函数

5.2 随机种子

本章练习

基础题

进阶题

本章常见易错点